Mathpad

视频里的课是“接着数一个”（Counting on by one），用测试账号录制。这个应用只给我们家用，需要 Google 登录。

问题

两个孩子，两个不同的问题。4 岁的孩子什么都掰手指数，10 以内也是，超过 10 的加法就卡住了。6 岁的孩子会加减法，但用十几减一个较大的一位数时会出错，比如 17 − 8、13 − 9。

第一版失败了。4 岁的孩子还不识字，应用却给的是文字指令。导航太复杂，课程推进太快，重复太少，孩子都哭了。下面几乎所有设计，都来自观察那几次练习、再按看到的问题重新搭建。

教学方法

用公开的课程标准，而不是刷题阶梯。 主线是加州学前及过渡幼儿园学习基础（Preschool/TK Learning Foundations），以及共同核心标准里幼儿园到二年级的内容，覆盖 20 以内的加减法。只有当某条标准需要拆得更细时，我才加一个更小的练习步骤，比如在算式里用加号之前，先学加号是什么意思。应用一共 80 节课，从数数一直到“破十减”。

从孩子已经会的地方开始。 起点来自对孩子的观察，而不是最近发了哪张练习纸。对 4 岁的孩子，第一个问题是：数全部，还是接着数？看到 3 + 2 和 2 + 5，会不会又从 1 开始数？接下来依次是：5 以内、再到 10 以内的接着数一个，接着数两个，从大数开始数，5 的分与合，数的组成和双数。对 6 岁的孩子，应用先检查十几减法依赖的几个基础（16 = 10 + ?、16 − 6、16 − 10、9 + ? = 16），再决定用哪种方法。然后一次只教一种：往上数过十（17 − 8 就是 8 → 10 → 17，2 + 7），或者破十减。

每节课都走同样的路径： 示范例题、引导练习、减少提示、独立完成、换一种新题型（迁移），几天后再复习。这依据的是美国教育部有效教育策略中心（What Works Clearinghouse）关于早期数学和数学干预的实践指南：明确的讲解、相互关联的表征方式和有引导的练习。示范例题会在屏幕上把数学动作做出来（一个点在数轴上跳一格），然后孩子自己跳同样一格，再写答案。

符号要教，不能默认孩子懂。 “加号的意思是再放进来一些。”“等号的意思是一样多。”“减号的意思是拿走。”每个符号单独一节课，用自己的颜色大大地画出来、读出来，然后才出现在题目里。3 + _ = 5 里的空格被教成“藏起来的数”（计数片藏在杯子下面），在任何题目用到它之前先学。

掌握看证据，不看速度。 一个步骤要算学会：先完成两次引导练习，然后最近五次独立作答中对四次，涉及至少三道不同的题，其中包括一道迁移题。之后大约在第 1、3、7、21 天再拿出来复习，因为分散练习、混合题型能提高保持（Cepeda et al., 2006；Rohrer & Taylor, 2007）。理解、准确、速度和灵活性是一起发展的（美国国家研究委员会《Adding It Up》），所以答得慢但答对了，从不算孩子的扣分项。答题时间只记录下来给家长看。复习没通过，就针对性地再练，而不是从头再来。

出错带来帮助，而不是失败。 做错的题会在这节课里再出现，最多两次。三道题里错两道，就重新示范一次，并换一道更简单的引导题。如果还是卡住，这节课就温和地结束，并请家长下次在旁边看看。一节课第一次答对不到 75%，地图上会多一块“宝石”，可以一起再玩一遍：它是礼物，不是关卡。没有计时，没有连对纪录，没有排行榜，表扬的是努力：“你一直坚持下来了！”

短时间练习。 4 岁的孩子大约 5 分钟、6 道题，6 岁的孩子大约 8 分钟、10 道题，每天最多学一个新内容。

这些规则不是什么。 这些阈值是在自家孩子身上试点的初始设定，不是公认的标准，我会根据观察到的情况调整。

为还不识字的孩子设计

• 所有内容都会读出来。 每条指令、提示和表扬都有录好的语音。按钮都是图标，下一步只有一个最显眼的选择。
• 做给孩子看，而不是讲给孩子听。 一次专家式的体验评审发现，教学部分仍然是在用文字描述一个动作。现在每个教学画面都会把动作在屏幕上演示出来。
• 手写答案。 答案用 Apple Pencil 或手指写。一个在合成的儿童手写数据上训练的小模型，在设备上识别整个数。如果字迹认不清，这次作答不算对也不算错。
• 一段火车旅程。 每节课是一条彩绘路线上的一站，有小山、隧道和简短的图画故事，进步是孩子看得见的。
• 家长页面显示每个孩子正在学什么，并给出在家可以怎么帮忙的具体建议。

技术实现

• 后端： Python、FastAPI 和 SQLite。课程以内容包的形式编写，每个内容包上线前都要通过检查。
• 前端： 为 iPad 写的原生 JavaScript，手写识别用 ONNX Runtime Web 在设备上运行。
• 用 Claude Code 开发，2026 年 9 月开始，基于一份课程研究评审、专家式的儿童体验评审，以及观察孩子真实练习的过程。

最难的部分

不用文字来教。4 岁的孩子读不懂“从 3 开始，向右移动 1”，所以每个概念都需要一个会把数学做出来的画面：会跳的点，掀开后露出藏着什么的杯子，被拿走的计数片。让每个示范和提示都把动作演出来，而不是描述出来，比任何其他改动都重要。